MÁS INFORMACIÓN SOBRE EL CÁLCULO DIFERENCIAL....

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Aprende cálculo:

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CIENCIAS RELACIONADAS CON EL CÁLCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial es un método universal, se puede aplicar en física, química, biología, contabilidad, etc. En cualquier proceso que puede ser traducido a una ecuación, ahí puedes aplicarlo.
Su aplicación más conocida es la determinación de los máximos y mínimos de una función (variable dependiente en una ecuación), en otras palabras sirve para determinar: las coordenadas del punto más alto o más bajo de una curva (o ambos), es decir, donde la pendiente es cero. ESTADÍSTICA: Para cálculo de probabilidades, existen funciones de distribución de probabilidad y también funciones de densidad de probabilidad. Para obtener las segundas se debe obtener la derivada de la distribución. Y estas funciones son útiles para calcular seguros de vida, daños, tasas de interés, etc. De manera resumida cualquier tipo de riesgo que se comporte de forma continua en el tiempo. ADMINISTRACION: Para maximizar o minimizar cosas. Por ejemplo si se quiere reducir costos en una empresa que se dedica a empacar productos X, pero se descubre que se puede seguir empacando la misma cantidad de X con cajas más pequeñas. CIENCIAS EXACTAS: En temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla), de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica de un punto dado a ésta, etc

INGENIERIA:
Se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de partes mecánicas de un automóvil, y muchas aplicaciones más en ingeniería y física. El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en esta área: Fabricación de chips (obleas de microprocesadores) Miniaturización de componentes internos. Administración de las compuertas de los circuitos integrados. Compresión y digitalización de imágenes, sonidos y videos. Han coadyuvado a aumentar la inteligencia artificial. El cálculo diferencial se aplica a todo, por comenzar a dar ejemplos, se aplica a la velocidad de los coches ya que la velocidad es la derivada del espacio con respecto al tiempo, la aceleración es el cambio de velocidad.

ADMINISTRACION: Para el análisis de regresión, series de tiempo, etc. Se aplican derivadas. La regresión y las series de tiempo son modelos predictivos. Por ejemplo, se puede crear un modelo matemático para predecir que una empresa Y va a vender P pesos si gasta G pesos en publicidad. Sirve para procesos estocásticos (modelos financieros muy avanzados).

El cálculo diferencial en otros campos de conocimiento

Calculo diferencial en Ingenieria Informatica.
La aplicacion del calculo en la ingenieria Informatica se ve reflejada en la fabricacion chips y placas para distintos uso como son las boards, tarjetas de video, sonido etc. La tecnologia en la actualidad tiende a sacar dispositivos cada vez mas pequeños, ese fin se logra gracias al uso del calculo asi como la comprension y edicion de audio y video. Tambien es necesario en el uso de surgientes tecnologias como es la artificial y de muchas otras en donde sera la base. Ademas tambien es necesario en la creacion de software en el que sea requerido para medicion de unidades y simplificacion.
 
Cálculo a la administración y la economía.

Las aplicaciones del cálculo a la administración y a la economía son variadas, pero por el momento sólo mencionaremos como podemos aplicar la derivada para obtener la maximiazación de utilidades: Para ilustrar cómo puede aplicarse la derivada a situaciones prácticas, a continuación se presenta la solución de un problema de maximización de utilidades:

Suponga que la utilidad de un fabricante por la venta de radios está dada por la función:

P(x) = 400(15 – x)(x – 2), donde x es el precio al que se venden los radios. Halle el precio de venta que maximiza las utilidades.

Solución:

EL objetivo es encontrar el valor de x que maximiza la utilidad P(x). Esto es el valor de x para el cual la pendiente de la recta tangente es cero. Como la pendiente de la recta tangente está dada por la derivada, primero se calcula P’(x). Para simplificar, la definición d ela derivada se aplica a la forma no factorizada de la función de utilidad.

Para hallar el valor de x en el que la pendiente de la tangente es cero, iguale la derivada a cero y despeje x en la ecuación resultante.

De aquí se deduce que x = 8.5 es la coordenada x de la cima de la gráfica y que el precio de venta es de $8.50 por radio.

Otra aplicación del cálculo a la administración y a al economía es utilizando la razón de cambio porcentual. 

Aportaciones de Newton y Leibniz

NEWTON 

El cálculo del área bajo la parábola x m/n usando el teorema fundamental del cálculo mediante primitivas. Además la aparición de las famosas Epístola prior y Epístola posterior ,En ambas Newton explica muy básicamente se centra en el teorema del binomio, en la primera, e incomprensiblemente, en la segunda, su método de cálculo.
La segunda obra de Newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737 se trata de De métodos. En ella Newton describe sus conceptos de fluente -es una variable en función del tiempo- y fluxión de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas -en relación a este último, estableció el ya mencionado Teorema fundamental del cálculo-. Para demostrar la potencia de su cálculo Newton se dedica en unas "pocas" páginas a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes.

   De entre el trabajo matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en
serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa
entre diferenciación e integración y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo, Newton concibió su cálculo durante los años 1665-1666. su famosa ley de gravitación universal.

 La serie del binomio fue descubierta por Newton el invierno de 1664,    A partir de su binomio, Newton encuentra también series trigonométricas. Si consideramos la circunferencia de radio. (variable) x es un "fluente" y su velocidad, designada.

En Newton los infinitesimales estaban asociados directamente al cálculo de velocidades instantáneas (un claro sentido de aplicación física).

LEIBNIZ
Fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibnitz fue el primero en publicar el invento. En 1673, luego de estudiar los tratados de Pascal, Leibnitz se convence que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes.   Alejándose de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo

Leibniz fue entonces impresionante, ya que
le llevó al descubrimiento del cálculo en 1675 y su elaboración y publicación en dos cortos artículos del Acta Eruditorum después en 1684
y 1686, el primero sobre cálculo diferencial y el segundo sobre cálculo integral., las reglas para la manipulación de los símbolos  "" y  "d" de la integral
y la diferencial. Esto refleja sus ideas filosóficas de buscar un lenguaje simbólico y operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por símbolos y fórmulas.

En Leibnizl interés no era la aplicación física. De hecho, se podría establecer una correlación entre infinitesimales y "mónadas'', estos últimos entes primarios en la descripción de lo real según la filosofía que aparece en su libro de filosofía (metafísica)Monadología.
El énfasis de Newton era la razón de cambio, mientras que en Leibniz lo era la suma infinita de infinitesimales. 

Creadores del cálculo

El siglo XVIII

Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés".

Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior. 

A los matemáticos de fines del siglo el horizonte matemático les parecía obstruido. Se había llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que nos se les conocía o veía un alcance claro. Los sabios sentían la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos procedimientos.

Historia del cálculo y su evolución

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construído, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna. 

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat. 

Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII.Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte. 

El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.  

  

¿Qué es el cálculo diferencial?

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.